Fragment książki „Szatan, Cantor i nieskończoność oraz inne łamigłówki” autorstwa Raymonda Smullyan
- Bardzo ciekawe jest to - powiedział czarnoksiężnik - że Cantor początkowo sądził, że każde dwa zbiory nieskończone muszą mieć tę samą liczność. O ile wiem spędził dwanaście lat na próbach udowodnienia tego faktu, w trzynastym zaś roku znalazł kontrprzykład (który będę nazywał przykładem Cantora). Tak, tak, istnieje więcej niż jedna nieskończoność - okazuje się nawet, że jest ich nieskończenie wiele. To podstawowe odkrycie zawdzięczamy Cantorowi.
Oto jak Cantor rozwiązał ten problem. Zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli można wskazać odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne pomiędzy tym zbiorem a zbiorem liczb naturalnych. […]
Przeliczyć zbiór to znaczy wskazać odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne pomiędzy tym zbiorem, a zbiorem liczb naturalnych. Jak już mówiłem Cantor początkowo rozważał różne zbiory, które wydawały się nieprzeliczalne (tzn. nieskończone, ale nie przeliczalne), i znajdował w końcu sprytne metody przeliczenia tych zbiorów.
Aby zilustrować jego metodę, wyobraźmy sobie, że jestem diabłem, wy zaś jesteście moimi ofirami w piekle. Chyba niezbyt trudno to sobie wyobrazić prawda?
Ten pomysł bardzo rozbawił Kasię i Michała.
- A teraz poddam was testowi: napiszę na kartce pewną liczbę naturalną, waszym zadaniem jest zaś odgadnięcie, jaka to liczba. Każdego dnia wolno wam zgadywać tylko raz. Możecie wyjść z piekła dokładnie wtedy, kiedy odgadniecie, jaka liczba napisana jest na kartce. Czy istnieje strategia, która pozwoliłaby wam z całą pewnością wyjść po jakimś czasie?
- Oczywiście- odparł Michał - pierwszego dnia zgaduję, że jest to liczba 1, drugiego, że 2 i tak dalej. Wcześniej czy później natrafię na właściwą liczbę.
- Dobrze - odparł czarnoksiężnik - mój drugi test jest nieco trudniejszy: tym razem napiszę na kartce liczbę całkowitą […]. Podobnie jak poprzednio, każdego dnia wolno wam zgadywać jeden raz. Czy i tym razem jest strategia, która pozwoli wam w końcu opuścić piekło?
- Oczywiście - powiedziała Kasia - Pierwszego dnia pytam, czy jest to liczba 1, drugiego dnia, czy jest nią -1, potem kolejno liczby 2,-2,3,-3,4,-4… i tak dalej. Wcześniej czy później natrafię na właściwą liczbę.
- To prawda - powiedział czarnoksiężnik- widzicie zatem, co to znaczy. Pozornie wydaje się, że zbiór liczb dodatnich i ujemnych powinien być większy (dwa razy większy) niż zbiór samych tylko liczb dodatnich. Jednak sami widzieliście, w jaki sposób wskazać wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie pomiędzy zbiorem wszystkich liczb całkowitych, a zbiorem dodatnich liczb całkowitych. Zbiory te mają tę samą liczność. Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest zbiorem przeliczalnym […].
Następny test, jakiemu poddam moje ofiary, jest nieco trudniejszy. Tym Razem napiszę na kartce dwie różne liczby lub jedną liczbę dwa razy. Na przykład mogę napisać 3 i 57 albo 17 i 206 albo 23 i 23. Każdego dnia przysługuje wam jedna próba odgadnięcia, jakie to liczby. Nie wolno wam jednak zgadywać jednej liczby jednego dnia, a drugiej liczby drugiego dnia- musicie zgadnąć obie liczby tego samego dnia. Czy sądzicie, że jest jakaś strategia, która zapewni wam wydostanie się wcześniej czy później z piekła?
- Wątpię - stwierdziła Kasia - Jest nieskończenie wiele możliwości dla pierwszej liczby, którą pan napisze, a z każdą z tych nieskończenie wielu możliwości związane jest następne nieskończenie wiele możliwości. Wydaje mi się, że nieskończoność razy nieskończoność to więcej niż sama nieskończoność.
- Tak by się mogło wydawać - powiedział czarnoksiężnik - i tak się rzeczywiście wydawało wielu współczesnym Cantora, jednak pozory mylą. Okazuje się, że jest strategia, umożliwiająca wydostanie się z piekła. Zbiór możliwości, z którymi macie do czynienia, jest przecież tak naprawdę przeliczalny. Czy potraficie wskazać strategię jego przeliczenia? […]
Zadanie 1 Wskazać odpowiednią strategię. odpowiedź
- Przypuśćmy teraz, że skomplikuję nieco problem w ten sposób, że oprócz podania dwóch liczb, należy odgadnąć kolejność, w jakiej są napisane. Czy teraz także będziecie mogli wydostać się z piekła?
- Oczywiście - odpowiedziała Kasia.- Znając rozwiązanie ostatniego problemu, ten staje się prosty.
Zadanie 2 Wskazać odpowiednią strategię. odpowiedź
- Tym razem zastanowimy się nad zbiorem wszystkich dodatnich ułamków - powiedział czarnoksiężnik.- Czy ten zbiór jest przeliczalny czy nie? Teraz powinniśmy już umieć odpowiedzieć na to pytanie. Przez dodatni ułamek rozumiem po prostu iloraz dwóch liczb naturalnych – na przykład 3/7 lub 21/13.
Zadanie 3 Czy zbiór ułamków jest przeliczalny? odpowiedź
- Odpowiedź na to pytanie zaskoczyła wielu matematyków czasów Cantora - powiedział czarnoksiężnik.- Teraz jednak przedstawię wam nieco trudniejszy problem. Tym razem napiszę na kartce skończony zbiór liczb naturalnych. Nie powiem wam, ile liczb jest w tym zbiorze, ani tego jaka jest największa z tych liczb. Każdego dnia przysługuje wam jedna próba odgadnięcia, jaki to zbiór. Jeśli uda wam się odgadnąć, jesteście wolni. Czy sądzicie, że istnieje jakaś strategia na wydostanie się z piekła?
Naszym przyjaciołom wydawało się, że jest to raczej mało prawdopodobne.
- Istnieje taka strategia - powiedział czarnoksiężnik. – Zbiór wszystkich skończonych zbiorów liczb naturalnych jest przeliczalny.
Zadanie 4 Wskazać odpowiednią strategię. odpowiedź
- A jak jest ze zbiorem wszystkich zbiorów liczb naturalnych - zarówno skończonych jak i nieskończonych? – zapytała Kasia.- Czy ten zbiór jest przeliczalny czy nie? A może odpowiedź na to pytanie jest nieznana?
- Dobre pytanie!- zawołał czarnoksiężnik.- Ten zbiór jest nieprzeliczalny - to jest właśnie odkrycie Cantora!
- Nikt nie odkrył metody przeliczenia tego zbioru?- zapytał Michał.
- Nikt nie odkrył tej metody i nikt jej nie odkryje, ponieważ przeliczenie tego zbioru jest logicznie niemożliwe!
- Skąd o tym wiadomo?- zapytała Kasia.
- Cóż, spójrzmy na to w ten sposób: wyobraźmy sobie książkę o przeliczalnie wielu stronach. Na każdej stronie zamieszczono opis pewnego zbioru liczb naturalnych. Książka ta należy do was. Jeśli każdy zbiór liczb naturalnych jest opisany w waszej książce wygracie wspaniałą nagrodę. Jednak muszę was zmartwić: nie możecie wygrać nagrody, ponieważ potrafię opisać taki zbiór liczb naturalnych, którego na pewno nie ma na żadnej ze stron waszej książki.
Zadanie 5 Opisać taki zbiór liczb naturalnych, którego nie ma na ... \n
